Модификация правила Паскаля для подсчёта подмножеств с повторяющимися элементами

Delphi , Синтаксис , Математика

Правило Паскаля, также известное как биномиальная коэффициентная формула, является классическим методом подсчёта подмножеств в математическом смысле, где все элементы уникальны. Однако в реальных задачах, особенно в области программирования, часто приходится сталкиваться с множествами, содержащими повторяющиеся элементы, что требует модификации классического подхода.

Проблема

В классическом подходе, если у нас есть набор элементов A, B, C, D, подмножества этих элементов можно подсчитать с помощью биномиальных коэффициентов, которые представлены в треугольнике Паскаля. Однако, если в наборе присутствуют повторяющиеся элементы, например A, B, B, B, C, C, D, стандартное правило Паскаля не применимо.

Решение

Для учёта повторяющихся элементов в наборе, необходимо использовать концепцию мультимножества (multiset), где порядок элементов не важен, и подмножества могут включать повторяющиеся элементы.

Формула для подсчёта подмножеств мультимножества с заданным количеством элементов (например, 3 элемента) выглядит следующим образом:

1. Подсчёт подмножеств без повторяющихся элементов: C(3,4) = 4.
2. Подмножества с повторяющимися элементами B (2 раза): C(1,3) = 3.
3. Подмножества с повторяющимися элементами B (3 раза): 1.
4. Подмножества с повторяющимися элементами C (2 раза): C(1,3) = 3.

Суммируя эти значения, получаем 4 + 3 + 3 + 3 = 13 подмножеств с 3 элементами.

Однако, проще всего подсчёт производить, используя полиномиальный трюк, где каждый элемент представляет собой множитель в виде (1 + x + x^2 + ... + x^n), где n — количество повторений элемента. Для мультимножества A, B, B, B, C, C, D, полином будет выглядеть следующим образом:

(1 + x) * (1 + x + x^2 + x^3) * (1 + x + x^2) * (1 + x) = 1 + 4x + 8x^2 + 11x^3 + 11x^4 + 8x^5 + 4x^6 + x^7.

Пример кода на Object Pascal (Delphi)

program MultiSetCombinations;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
  System.SysUtils;

function PascalTriangle(n, k: Integer): Integer;
begin
  Result := (Fact(n) div (Fact(k) * Fact(n - k)));
end;

function CountMultiSetCombinations(multiSet: TArray<Integer>): TArray<Integer>;
var
  i, repetitions, sum: Integer;
begin
  SetLength(Result, Length(multiSet));
  for i := Low(multiSet) to High(multiSet) do
  begin
    repetitions := multiSet[i];
    sum := (repetitions + 1);
    for var j := 1 to repetitions div 2 do
      sum := sum * (repetitions - j + 1) div j;
    Result[i] := sum;
  end;
end;

var
  multiSet: array of Integer = [1, 2, 2, 2, 2, 1]; // A, B, B, B, C, C, D
  combinations: TArray<Integer>;
  i: Integer;
begin
  combinations := CountMultiSetCombinations(multiSet);
  for i := Low(combinations) to High(combinations) do
    WriteLn(Format('(1 + x + %s)^%d = ', [Repeat('x^', [i]), multiSet[i]]: String));
  Writeln('    ', (combinations[0] * combinations[1] * combinations[2] * combinations[3]).ToString);
  ReadLn;
end.

В этом коде функция CountMultiSetCombinations вычисляет количество подмножеств для каждого элемента мультимножества, а затем результаты умножаются для получения общего количества подмножеств. Этот метод можно использовать для подсчёта подмножеств мультимножеств в различных задачах, включая задачи, связанные с программированием на Delphi и использованием языка Object Pascal.

Создано по материалам из источника по ссылке.

Модификация правила Паскаля для подсчёта подмножеств, включающих повторяющиеся элементы, с использованием концепции мультимножества и полиномиального трюка.

Комментарии и вопросы

Получайте свежие новости и обновления по Object Pascal, Delphi и Lazarus прямо в свой смартфон. Подпишитесь на наш Telegram-канал delphi_kansoftware и будьте в курсе последних тенденций в разработке под Linux, Windows, Android и iOS

:: Главная :: Математика ::