Оптимизация модульного возведения в степень для больших чисел в Delphi

Delphi , Синтаксис , Математика

Вопрос программирования генератора простых чисел с использованием теста Миллера-Рабина приводит к необходимости реализации модульного возведения в степень для очень больших чисел. В частности, задача состоит в том, чтобы реализовать алгоритм, позволяющий работать с числами до 200 цифр, не используя сторонние библиотеки.

Проблема

Программист столкнулся с проблемой модульной экспоненциации при реализации генератора простых чисел с использованием теста Миллера-Рабина. Для реализации модульного возведения в степень был выбран метод "Справа налево" (Right-to-left binary method), который предполагает выполнение операции A mod B, где A и B — числа с максимальной длиной в 200 цифр. Для вычисления остатка от деления необходимо реализовать алгоритм деления двух больших чисел, представленных в виде массива цифр.

Решение

В контексте обсуждения была предложена идея использования бинарного поиска для нахождения целочисленного частного, что является альтернативой прямому делению. Этот метод не является самым быстрым, но он достаточно эффективен для чисел с 200 цифрами и не требует сложной реализации. Также было предложено рассмотреть алгоритмы, такие как алгоритмы Фулера, Шёнхаге-Страссена, которые эффективны для очень больших чисел, но имеют значительный начальный оверхед и могут быть неоправданно сложными для чисел с 200 цифрами.

Подтвержденный ответ

Программист успешно реализовал алгоритм бинарного поиска для модульной экспоненциации, но столкнулся с тем, что общая производительность модульного возведения в степень оказалась недостаточно высокой для больших чисел. Тем не менее, он выразил благодарность за полученные предложения и намерение продолжить работу над устранением проблемы.

Альтернативный ответ

Другой подход, предложенный в обсуждении, заключается в выполнении модульных операций в процессе умножения, что позволяет избежать необходимости в полноценном делении после завершения умножения. Этот метод может быть реализован с использованием различных алгоритмов умножения, включая алгоритмы Фура, Фурта и Штрассена для умножения двух многочленов, которые позволяют выполнить деление на операции сложения и вычитания. Однако, для небольших чисел, таких как числа с 30 или даже с 200 разрядами, эти методы не будут существенно лучше простого деления на основе бинарного деления на пополам и последующего бинарного поиска.

Пример кода на Object Pascal (Delphi)

function ModPow(Base, Exp, Modulus: Int64): Int64;
var
  Result, Temp: Int64;
begin
  Result := 1;
  Temp := Base;
  while Exp > 0 do
  begin
    if (Exp and 1) = 1 then
      Result := (Result * Temp) mod Modulus;
    Temp := (Temp * Temp) mod Modulus;
    Exp := Exp shr 1;
  end;
  ModPow := Result;
end;

В этом примере используется простой алгоритм модульного возведения в степень, который может быть дополнительно оптимизирован для работы с большими числами, представленными массивом цифр, используя предложенные методы.

Заключение

Для оптимизации модульного возведения в степень в среде Delphi для больших чисел можно использовать различные алгоритмы, включая бинарный поиск для умножения, бинарные преобразования для деления, и использование техник умножения в модульной манере. На практике, для чисел до 200 цифр, часто оказывается, что более простой алгоритм, основанный на бинарном деление на пополам, может быть приемлемым, так как современные высокопроизводительные системы и оптимизированные простые операции умножения и сложения с остатком по модулю уже могут обеспечить достаточно высокую производительность.

Создано по материалам из источника по ссылке.

Программист ищет способы оптимизации алгоритма модульного возведения в степень для работы с очень большими числами в среде разработки Delphi в контексте реализации генератора простых чисел с использованием теста Миллера-Рабина.

Комментарии и вопросы

Получайте свежие новости и обновления по Object Pascal, Delphi и Lazarus прямо в свой смартфон. Подпишитесь на наш Telegram-канал delphi_kansoftware и будьте в курсе последних тенденций в разработке под Linux, Windows, Android и iOS

:: Главная :: Математика ::